안녕하세요! 수리논술에 들어오신 여러분을 환영합니다.

저는 수리논술 마스터 김재서라고 합니다. 반갑습니다.

드디어 6월이 지나갔고, 무더운 여름과 함께 7월이 찾아왔습니다.

이제 각 대학별 기출을 풀어보고, 대학을 분석할 기간이에요.

하지만 독학으로는 분석은 커녕 기출을 푸는 것부터 삐그덕대기 쉽상입니다.

그런 여러분들을 위해, 앞으로 8부작의 칼럼으로 여러분들을 도와드리겠습니다.

이 칼럼 시리즈를 통해 

시립대 / 경희대 / 중앙대 / 한양대 / 성균관대 / 서강대 / 고려대 / 연세대 

8개 대학에 대해 자세히 다룰 예정입니다.

해당 칼럼은, 시험 범위 및 시험 일정 등의 정보를 알려주는 서론,

해당 대학에 대해 기초적인 분석을 진행하는 본론,

그리고 단 한 문제를 저와 같이 풀어나가는 결론으로 나뉘어 있습니다.

이 칼럼을 보면서, 저와 같이 해당 대학에 한 걸음 더 가까워지셨으면 좋겠습니다.

비록 해당 대학을 지원하지 않으실 예정이라도 보시면서 많은 것을 얻어가실 수 있습니다.

그럼 시작해보죠.

1. 시립대 논술, 핵심만 보여드리겠습니다.

시험일 : 2024.10.5 (토) / 수능 전

전형요소별 반영비율 및 배점 : 논술 70% (700점) + 교과 30% (300점) 

(교과의 반영비율이 높지만 걱정하지 않으셔도 됩니다. 6등급 이하부터만 신경써주시면 됩니다.)

출제유형 : 수리논술 4문제

시험시간 : 120분

출제범위 : 전범위 (고1 수학, 수1, 수2, 미적, 확통, 기하)

수능최저 : 없음

(자세한 내용은 수시모집요강을 참고)

2. 시립대 분석 

- 시립대는 미적, 기하, 확통을 골고루 출제합니다.

 각각 1문제씩은 반드시 출제하는 경향이 있어요.

문제들을 보면 어느 부분에 치우치지 않고, 골고루 평가하겠다는 시립대의 의지가 느껴집니다.

다시 말하자면 미적 기하 확통을 모두 수준급으로 해야 합격할 수 있다는 것이죠.

수능최저가 없는 상위 대학들, 연세대와 한양대 그리고 시립대는 그런 경향이 강해요. 미적만 해서는 합격할 수 없는 구조입니다.

미리미리 확통과 기하에 대한 실력을 키워둬야 해요.

- 그렇다고 수1 따로, 수2 따로, 미적 따로, 기하 따로 이런 식으로 문제를 내진 않아요.

겉모습은 기하인데 마지막에 미적분을 이용해 푸는 문제도 있고, 미적분 문제에 수1을 섞어내는 경우도 있습니다.

(이거 기하 선택자도 미적 선택자도 못 풀 겁니다.)

하지만 수능은 잘 그렇진 않죠. 누가 기하 문제에 미적분을 섞어서 내겠어요?

이러다 보니 정작 과목끼리 연계되었을 때 이를 눈치채지 못하고 어떻게든 그 과목 안에서 문제를 풀려다 틀릴 수 있습니다.

그러니 다른 과목들끼리 연계된다는 것을 인지하시고, 과목간의 연계에 익숙해지셔야 합니다.

- 시립대는 대부분의 문항이 대문항 1개로만 이루어져 있습니다.

대문항을 풀기 위한 소문항이나, 제시문이 전혀 없다는 것입니다.

푸는데 더 난이도가 높을 수 밖에 없어요.

하지만 가끔씩 (2025학년도 모의논술 4번) 소문항이 있는 경우가 존재합니다.

그러면 그 두 문항은 강한 연관성을 지니는 문제입니다. 위에 있는 소문항이 아래 있는 문항을 풀기 위해 필요한 문항이라는 것이죠.

그렇기 때문에 시립대에서 소문항이 나온 경우 둘 사이의 관계를 강하게 의심해야 합니다.

- 시립대는 항상 1문제를 갯수세기 문제로 채웁니다. 

갯수세기란, 어떤 문자들에게 정수 조건을 부여한 다음 해당 조건에 맞는 정수들을 모두 찾아내야 하는 문제들입니다.

이는 예전 수능에 있었던 ‘격자점’ 문제를 계승한 것으로 상당한 난이도를 자랑하고 있습니다.

시립대를 준비할 학생이라면 해당 문제는 반드시 나온다고 생각하고 이에 대해 대비하고 있어야 합니다.

오늘 풀어드릴 문제도 2024학년도 논술에 있었던 갯수세기 문제를 가져왔습니다. 썸네일에서 언급했듯이 답이 11112인 문제입니다.

- 증명 문제 나올 수 있습니다. 

올해 모의논술에서도 4-1로 증명 문제가 나왔고, 예전에도 수학적 귀납법을 이용한 증명 문제가 나온 적이 있습니다.

그러니 증명에 대해서도 대비할 필요가 있습니다. 

제가 ‘맛있는 증명’ 칼럼으로 증명에 대해 간단히 정리해두었으니 이것을 참고해도 좋고, 

시중에 있는 논술 독학서에서도 증명을 가르치니 이것들을 참고하셔도 좋습니다.

- 미적 단독으로 나오는 문제는 논술 치고는 어렵지 않습니다. 겁먹지 않으셔도 됩니다.

추론하는 문제보다 계산하는 문제의 비중이 높으니 계산실수에 유의하면서 차근차근 계산해가면 됩니다.

다만 논술이니만큼 근사나 로피탈같은 스킬들을 사용할 수 없다는 것은 알아두셔야 합니다.

- 확통 문제는 대부분 경우의 수 / 조건부확률 에서 나옵니다.

이번 모의논술도 확률이라고 하지만 사실상 경우의 수를 구하는 문제나 다름이 없으므로, 경우의 수와 조건부 확률만큼은 단단히 대비해주시기 바랍니다.

경우의 수든 조건부확률이든 조합 / 중복조합이 나올 수 있으니 조합과 중복조합은 유의해서 연습해 주세요.

조건부확률은 사건들 명확하게 명시해주고, 조건부확률의 정의대로 가는 것이 대부분 유리합니다. ( P(A|B) = P(A∩B) / P(B) )

- 기하 문제는 요즘 심상치 않아요. 

원래는 벡터와 이차곡선 정도만 냈지만, 올해 모의논술에서 공간좌표를 냈습니다.

시립대 뿐만 아니라, 지금 공간좌표 내는 대학이 많아요. 제가 확인한 거만 해도 중앙대, 경희대, 시립대까지 모의논술에서 공간좌표를 냈습니다.

그러니 기하는 더더욱 신경써서, 공간좌표 안 낸다고 방심하지 말고 제대로 공부해주세요.

이번에 기하가 엄청 어려울 수 있습니다.

- 120분이라고 해서 시간이 널널할 수 있다고 생각하신다면 큰 오산입니다. 실제 시험장 가보시면 시간이 부족해요.

그러니 한 문제를 30분 넘게 푸는 일은 지양하셔야 합니다. 나중 가면 맞출 문제도 못 맞출 수 있어요.

- 출제방식이 비슷한 대학으로는 연대, 한양대, 성균관대 (정수조건) 등이 있습니다.

만약 시립대학교의 기출을 푸셨다면 유사대학의 기출문제도 같이 풀어보시면 좋습니다.

3. 한 문제를 같이 풀어봅시다.

2024학년도 시립대 3번 문제는 다음과 같습니다.

먼저 풀어보시고, 그 다음 같이 풀이를 봅시다.

풀어보셨을까요?

일단 저 절댓값 함수들을 그려보면서, 직선이 어떻게 지나가야 할 지 감을 잡아봅시다.

파란색 그래프는 고정되어 있고, 빨간색 그래프는 좌우로만 움직이겠군요.

그러면 직선은 두 함수 사이를 샥 하면서 지나가야겠군요.

하지만 직선의 기울기는 정수이므로, 기울기가 가질 수 있는 값은 1,0,-1밖에 되지 못합니다.

기울기가 1보다 크거나 -1보다 작으면 직선이 두 함수를 뚫고 지나갈 수 밖에 없으니까요.

그럼 기울기 a 가 0인 경우, 1인 경우, -1인 경우로 나누겠습니다.

a가 0인 경우, 이건 간단합니다. 

파란색 함수의 최댓값은 0이고 빨간색 함수의 최솟값은 5이니까 

0 ≤ b ≤ 5 여야 하겠군요.

a가 1인 경우, 그러면 빨간색 그래프와 파란색 그래프 중에서 기울기가 1인 부분만을 연장합시다.

그러면 검은 직선은 빨간색 직선과 파란색 직선 사이에 있어야 하겠군요.

빨간색 직선의 y절편을 구하고, 파란색 직선의 y절편을 구해서, 그들 사이에 있어야 한다고 식을 세우면 될 것입니다.

빨간색 직선의 y절편은 -2n + 5, 파란색 직선의 y절편은 -2이므로 -2 ≤ b ≤ -2n+5 여야 할 것입니다.

하지만 n이 어느 순간 커지면 -2 > -2n + 5가 되어 빨간색이 파란색 직선 아래로 들어가게 될 것입니다.

그러면 검정색 직선은 존재할 수 없습니다. 

그래서 a = 1인 경우는 몇 개의 경우를 제외하고는 모두 0이기 때문에 이를 따로 빼서 더해야 할 것입니다.

a = -1인 경우도 똑같이 빨간색 그래프와 파란색 그래프 중에서 기울기가 -1인 부분만을 연장합시다.

그러면 검정색 직선은 빨간색 직선과 파란색 직선 사이에 있어야 하겠군요.

빨간색 직선의 y절편은 2n + 5, 파란색 직선의 y절편은 2 이므로 2 ≤ b ≤ 2n + 5 이겠군요.

이 경우는 다행히 빨간색 그래프가 오른쪽으로 이동할 수록 공간이 더 넓어지므로 직선이 존재하지 않을 걱정은 하지 않아도 됩니다.

세 경우를 모두 합치면,

a가 0인 경우는 n과 상관없이 6개

a가 1인 경우는 8-2n (n≤3), 0 (n≥4) 이고

a가 -1인 경우는 2n+4 개 입니다.

이걸 그대로 시그마에 넣고 계산하면 11112가 나옵니다.

그래서 답이 11112개 인 것이죠.

이제 이것을 답안에 적기 위해 논리적인 바탕을 만들어 보겠습니다.

우선 -1 ≤ a ≤ 1 을 이끌어내기 위해서 무엇을 사용해야 할까요?

잊으셨을 지 모르겠지만, 양 옆에 부등식이 있는 경우 극한을 취하는 게 좋을 때가 많습니다. 

실제로 x ≥ 2n 일 때 -x + 2 ≤ ax + b ≤ x -2n + 5 에서 세 식 모두 x로 나누고 극한을 취하면

이 됩니다.

a = 0 일 때야 별 문제는 없지만, a가 1일 때와 -1일 때가 문제일 것입니다.

이때는 부등식을 이용하여 조금 간결하게 서술해 봅시다.

이런 식으로 말이죠.

다른 방법도 있습니다. 

이와 같이 세 변에 x를 모두 빼서, b 좌우에 있는 함수를 구하는 방법도 있습니다. 이거는 본인이 직접 해 보시기 바랍니다.

따라서 예시 답안을 작성하면 다음과 같습니다.

문항 해설과 채점 기준은 다음과 같습니다.

##########

어떠셨을까요?

아마도 익숙치 않아서 어려우실 수도 있습니다. 괜찮아요.

이런 문제들을 자주 풀어보면 잘 풀 수 있을 거에요.

앞으로도 해당 칼럼은 매주 주말에 올라오니

많은 관심 바랍니다.

그럼 다음 칼럼, 경희대 편에서 만나도록 하겠습니다.

지금까지 제 칼럼을 읽어주셔서 감사합니다.